آکادمی بین المللی دان
DAAN ACADEMY

ریاضیات آزمون تولک ای TOLC-E

ریاضیات آزمون تولک ای TOLC-E

فهرست موضوعات

ریاضیات آزمون تولک ای TOLC-E به نظر میرسد از لحاظ ساختار و سرفصل ها میتواند مشابه ریاضیات تولک آی مهندسی باشد. با این تفاوت که در ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E بخش آمار وجود ندارد. این امتحان بر خلاف بیشتر تست های CISIA سوالات کمتری دارد (36 سوال 5 گزینه ای) و 13 سوال بخش ریاضی را باید در 30 دقیقه پاسخ داد. 

ساختار ریاضیات آزمون تولک ای TOLC-E را در این مطلب توضیح میدهیم و بهرین مسیر برای موفقیت در این آزمون را مورد بررسی قرار میدهیم.

بخش ریاضی تولک ای (خصوصیات اعداد و انواع عملیات روی اعداد)

اعداد صحیح ریاضی

اعداد صحیح در ریاضی تولک ای یکی از انواع اعداد در ریاضیات هستند که شامل اعداد مثبت، صفر، و اعداد منفی بدون مقدار اعشار یا کسر می‌شوند. اعداد صحیح با علامت‌های مثبت (+) و منفی (-) همراه می‌شوند.

مثال:
اعداد صحیح را با نماد Z نمایش می‌دهیم. به عنوان مثال، مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر است:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

در این مثال، مجموعه اعداد صحیح شامل اعداد منفی، صفر، و اعداد مثبت به صورت نامتناهی است. اعداد منفی بیانگر مواقعی هستند که کمیتی کاهش یافته است، اعداد مثبت بیانگر مواقعی هستند که کمیت افزایش یافته است، و صفر نشان‌دهنده تساوی کمیت است.

اعداد گویا در ریاضی تولک ای

اعداد گویا یا اعداد حقیقی، مفهوم گسترده‌ای در ریاضیات دارند و همه اعدادی هستند که می‌توانند در خط اعداد قرار گیرند. این اعداد شامل اعداد کسری ، اعشاری ، صحیح و طبیعی می‌شوند.

اعداد گویا مهمترین بخشی از ریاضیات هستند و در موارد مختلف از جمله جبر، هندسه، آنالیز ریاضی، و استفاده‌های علمی و مهندسی به کار می‌روند.

اعداد حقیقی

اعداد حقیقی در ریاضیات شامل همه اعداد صحیح، اعداد اعشاری و اعداد بسیار کوچک یا بزرگتر (به عبارت دقیق‌تر، اعدادی که روی خط حقیقی قرار دارند) هستند. این مجموعه شامل اعداد صحیح، اعداد اعشاری (که می‌توانند حتی بدون قسمت اعشاری یا به صورت کسری باشند) و اعداد بسیار کوچک یا بزرگ مثل عدد پی (π) یا شماره اول (e) است.

برای توضیح بهتر ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E، این دسته اعداد به وسیلهٔ نمادهای ریاضی معرفی می‌شوند:

اعداد صحیح (Z): این شامل همه اعداد مثبت، صفر، و اعداد منفی می‌شود؛ به عنوان مثال: …، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …

اعداد اعشاری (Q): این شامل اعدادی است که می‌توانند به صورت کسری یا با اعشار نمایش داده شوند؛ به عنوان مثال: 1/2، -3.14، 2.71828 و غیره.

اعداد بی‌نهایت (و یا اعداد حقیقی) (R): این شامل اعدادی است که به صورت مداوم روی خط حقیقی قرار دارند. این شامل اعداد اعشاری و اعدادی مثل عدد پی (π) یا شماره اول (e) است.

قدر مطلق Absolute value ریاضیات تولک ای TOLC-E

ریاضیات تولک ای TOLC-E

قدر مطلق (Absolute value) یک مفهوم در ریاضیات است که برای اندازه‌گیری فاصلهٔ یک عدد از صفر استفاده می‌شود. برای هر عدد حقیقی \(x\)، قدر مطلق آن را با نماد |x| نمایش می‌دهیم.

در تعریف رسمی، قدر مطلق یک عدد \(x\) برابر با خود آن عدد است اگر \(x\) مثبت یا صفر باشد و برابر با منفی x باشد اگر \(x\) منفی باشد. به صورت ریاضی:

مثال ریاضیات تولک ای

به عبارت دیگر، قدر مطلق همیشه به نقطه مثبت یا صفر تبدیل می‌شود. این معنای هندسی آن است که قدر مطلق یک عدد حقیقی مسافت آن عدد از صفر را نشان می‌دهد.

مثال ریاضیات تولک ای

بنابراین، قدر مطلق همواره یک عدد حقیقی را به یک عدد حقیقی نامنفی یا صفر تبدیل می‌کند.

چند جمله‌ای‌ها (عملیات، عامل‌بندی) در ریاضیات

در ریاضیات، چندجمله‌ای (به انگلیسی: Polynomial) به عبارت متغیری گفته می‌شود که از ترکیب خطی تک‌جمله‌ای‌ها تشکیل گردیده است. توان متغیرهای به کاررفته در چندجمله‌ای باید اعداد صحیح غیرمنفی (اعداد حسابی) باشد.

در ریاضی تولک ای TOLC-E، چند جمله‌ای‌ها مجموعه‌ای از عبارات جمع و تفریق متغیرها و ضرایب ثابت هستند. عملیات معمول روی چند جمله‌ای‌ها شامل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم می‌شوند.

 

 عملیات:  


1.جمع و تفریق:
دو چندجمله‌ای را می‌توان جمع و تفریق کرد، با افزودن یا کم کردن ضرایب متغیرها به ترتیب درجه آن‌ها.

2. ضرب
برای ضرب دو چندجمله‌ای، هر جمله از یک چندجمله با هر جمله از دیگری ضرب می‌شود، و سپس نتایج جمع می‌شوند.

3. تقسیم:
تقسیم دو چندجمله نیازمند مقایسه درجه آن‌ها است. اگر درجه چندجمله تقسیم‌کننده از درجه تقسیم شونده بیشتر باشد، نتیجه تقسیم صفر خواهد بود.

عامل‌بندی:
عامل‌بندی چندجمله‌ای به معنای تجزیه آن به حاصلضرب عبارات کوچکتر است. این کاربرد‌های مهمی در حل معادلات و تحلیل توابع دارد. برای مثال، چندجمله‌ای x^2 – 1 به صورت (x – 1)(x + 1) عامل‌بندی می‌شود.

معادلات و نامعادله

در ریاضیات، معادلات و نامعادله جبری اول و دوم درجه موضوعاتی اساسی هستند که در تحلیل رفتارهای متغیرها و حل مسائل گوناگون به کار می‌روند. این دو نوع معادله و نابرابری از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند، زیرا مدل‌سازی‌ها و حل آن‌ها در مسائل واقعی از جمله فیزیک، مهندسی، اقتصاد، و علوم کامپیوتر بسیار رایج می‌باشند.

معادلات جبری اول درجه:

معادلات جبری اول درجه معمولاً به شکل \(ax + b = 0\) نمایش داده می‌شوند. این معادلات حاوی تنها توان اول از متغیر مستقل هستند. راه حل این معادلات به سادگی با تعیین مقدار متغیر مستقل از رابطه بدست می‌آید.

معادلات جبری دوم درجه:

معادلات جبری دوم درجه به شکل کلی \(ax^2 + bx + c = 0\) نمایش داده می‌شوند. این معادلات شامل توان دوم از متغیر مستقل هستند و دارای دو ریشه حقیقی یا مختلط می‌باشند. روش‌های مختلف حل این معادلات، از جمله فرمول کوادراتیک، بسیار مفیدند.

نامعادله های ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E:

نابرابری‌های جبری همچنین در دو دسته اول و دوم درجه قرار می‌گیرند. این نابرابری‌ها نقش مهمی در تحلیل و توصیف فواصل، ترتیب‌ها، و شرایط نابرابری دارند.

معادلات و نامعادله های قابل تجزیه:

بعضی از معادلات و نابرابری‌ها قابل تجزیه به عبارات کوچکتر هستند. این فرآیند، حل مسائل پیچیده را ساده‌تر می‌کند. به عنوان مثال، تجزیه معادله \(x^2 – 4 = 0\) به عبارت \((x – 2)(x + 2) = 0\)، به ما کمک می‌کند تا ریشه‌های آن را به دست آوریم.

استفاده از تکنیک‌های مختلف برای حل این نوع معادلات و نابرابری‌ها در تحلیل و حل مسائل واقعی از اهمیت بسیاری برخوردار است. این مباحث، اساسی‌ترین ابزارهای ریاضیاتی برای تفکر تحلیلی و مسائل مهندسی هستند. 

ریشه دوم در درس ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E

این بخش میتواند شامل مباحث زیر باشد:

درک توان‌های کسری
ضرب کردن توان‌ها
جذر
توان‌های منفی
بررسی توان صفر
بررسی مبنای صفر
توان با مبنا و نمای صفر
مباحث پیشرفته: توان‌های مکرر (A به توان B به توان C)
بازنویسی توان‌ها
ریشه دوم یا جذر عدد

توان‌ها و لگاریتم‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها مفاهیم ریاضی هستند که به طور نزدیک با یکدیگر مرتبط بوده و اغلب در حوزه‌های مختلف استفاده می‌شوند. هرکدام از این مفاهیم را به صورت جداگانه بررسی کنیم:

– یک عبارت توانی به شکل (a²) است، جایی که (a) پایه و (2) نمایانگر توان است.
– توان نمایانگر تعداد باری است که پایه با خودش ضرب می‌شود.

توان‌ها و لگاریتم‌ها ابزارهای ریاضی مرتبط با یکدیگر هستند که هرکدام وظیفه خاص خود را انجام می‌دهند. توان‌ها نمایانگر ضرب تکراری هستند، در حالی که لگاریتم‌ها امکان حل مسائل با توان را فراهم می‌کنند. این مفاهیم در زمینه‌هایی از جمله حسابان، فیزیک، علوم کامپیوتر و مالی به کار می‌روند.

محاسبات با لگاریتم‌ها

محاسبات با لگاریتم‌ها مشمول عملیات‌های مختلف با استفاده از خصوصیات لگاریتمی است. در زیر برخی از جنبه‌های اساسی انجام محاسبات با لگاریتم‌ها برای آشنایی بیشتر با بخش ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E آورده شده‌اند:

    1. مفاهیم پایه لگاریتم:
      • لگاریتم یک عدد b به پایه a به شکل loga(b) نمایانگر نمایانگر توانی است که باید a به آن توان رسانده شود تا b حاصل شود.
      • پایه‌های متداول لگاریتم شامل log10 (لگاریتم عدد 10) و ln (لگاریتم طبیعی با پایه e) می‌شوند.
    2. خصوصیات لگاریتم:
      • قاعده ضرب: loga(xy) = loga(x) + loga(y)
      • قاعده تقسیم: loga(x/y) = loga(x) – loga(y)
      • قاعده توان: loga(xn) = n * loga(x)

معادلات و نابرابری‌های کسری، بی‌ربط، لگاریتمی و توانی با پایه‌های کسری

معادلات و نابرابری‌های کسری در ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E، بی‌ربط، لگاریتمی و توانی با پایه‌های کسری را می‌توان به صورت زیر توضیح داد:

    1. معادلات و نابرابری‌های کسری:
      • معادلات کسری شامل عبارت‌هایی هستند که در آن متغیر یا متغیرها در مخرج یا مخرج و مخرج قرار دارند، مانند (ax + b) / c = d.
      • نابرابری‌های کسری نیز شامل علائم نابرابری مانند (ax + b) / c > d هستند.
    2. معادلات و نابرابری‌های بی‌ربط:
      • معادلات بی‌ربط حاوی متغیرها و اعداد بی‌ربط به همراه علائم نابرابری هستند، مانند |ax + b| > c.
      • این نوع معادلات به تعیین محدوده‌های مقادیر متغیر مناسب برای حل معادله می‌پردازند.
    3. معادلات و نابرابری‌های لگاریتمی:
      • معادلات لگاریتمی شامل عباراتی هستند که لگاریتم متغیرها را در بر دارند، مانند loga(bx) = c.
      • نابرابری‌های لگاریتمی نیز با علائم نابرابری همراه می‌شوند.
    4. معادلات و نابرابری‌های توانی با پایه‌های کسری:
      • معادلات توانی با پایه کسری حاوی عباراتی مانند (ax + b)c/d = e هستند.
      • نابرابری‌های توانی نیز می‌توانند با پایه‌های کسری در بیایند، مانند (ax + b)c/d > e.

 

از مباحث دیگری که در ریاضی آزمون تولک ای TOLC-E  مطرح هستند، میتوان به موضوعات زیر اشاره کرد:


ریاضیات نمادین.

راه حل عملی سیستم‌های خطی ساده.

مختصات دکارتی.

معادلات خطوط و محل‌های ساده (دایره‌ها، بیضی‌ها، پارابولاها، هایپربولاها).

نمودارهای توابع ابتدایی.

به این مطلب امتیاز دهید
5/5
مشاوره تحصیلی

با پر کردن فرم مشاوره تحصیلی، راهی جدید برای شروع مسیر شغلی و تحصیلی خود پیدا کنید و به آرزوهای تحصیلی و شغلی خود نزدیک شوید. پس از پر کردن فرم، مشاوران ما با شما تماس خواهند گرفت و به شما در رسیدن به اهداف تحصیلی و شغلی خود کمک خواهند کرد. برای شروع این مسیر، فرم مشاوره تحصیلی را همین الان پر کنید.